En principio, creo que puedes registrar ése nombre, porque hoy en día tampoco hay problemas para registrar nombres extranjeros, pues creo que menos problema seria registrar-te como Alex.
tranki, cualquier nombre que no lleve a confusión por razón del sexo o sea claramente insultante, se puede registrar.
Alex, además de una abreviatura muy común, es un nombre precioso.
Por ejemplo, no podrías llamar a tu HIJO María Manuela o a tu HIJA José Antonio, o llamarles "satanás", "María de la mierda" o "José Gilipollas", pero Alex es de lo más normal.