tranki, cualquier nombre que no lleve a confusión por razón del sexo o sea claramente insultante, se puede registrar.
Alex, además de una abreviatura muy común, es un nombre precioso.
Por ejemplo, no podrías llamar a tu HIJO María Manuela o a tu HIJA José Antonio, o llamarles "satanás", "María de la mierda" o "José Gilipollas", pero Alex es de lo más normal.
En principio, creo que puedes registrar ése nombre, porque hoy en día tampoco hay problemas para registrar nombres extranjeros, pues creo que menos problema seria registrar-te como Alex.