Hola Angel. El resgistro del contrato NO es necesario. Lo que si puede hacer,si lo desea pues NO es obligatorio, es elevarlo a escritura pública para así poder inscribirlo en el Registro de la Propiedad. Así el contrato de Arrendamiento será oponible frente a terceros.
En cambio la Fianza SÍ que debe ser depositada en el organismo correspondiente,el cual varía en función de la Comunidad Autónoma en la que esté sita la vivienda o local objeto de Arrendamiento.Vg En Madrid se debe depositar en el IVIMA y en Castilla y León en la Cámara de la Propiedad Urbana.
Los contratos de alquiler, bien de vivienda o de local de negocio, se deben registrar en algún sitio.
Y la fianza se debe depositar en algún sitio.
Gracias de antemano