No puedes, Sólo podrás formular preguntas a tu cliente si es propuesto su interrogatorio por la parte contraria. Se entiende que todo lo que ella ha querido manifestar ha quedado previamente plasmado en la demanda.
En realidad, Laura se interesa por el articulado que impide pedir la prueba de interrogatorio de parte en relación a la propia. Como correctamente han señalado los excelentes letrados AR, Crane y Motta, el artículo no hay que buscarlo en la Ley de la Jurisdicción Social, que nada dice sobre ello, sino en la Ley de Enjuiciamiento Civil. Así, el artículo Artículo 4 (que te pego) dice
"Carácter supletorio de la Ley de Enjuiciamiento Civil.
En defecto de disposiciones en las leyes que regulan los procesos penales, contencioso-administrativos, laborales y militares, serán de aplicación, a todos ellos, los preceptos de la presente Ley"
Como en la ley de jurisdicción social no hay una mención explícita al orden y prelación de los interrogatorios, hay que acudir a la LEC, sin dejar de enfatizar que procedimentalmente esa clase de juicios, como los de familia, son bastante flexibles. Así:
"Artículo 301. Concepto y sujetos del interrogatorio de las partes.
1. Cada parte podrá solicitar del tribunal el interrogatorio de las demás (...)"
Por lo tanto, Laura, la respuesta legal que buscas (y quien busca, encuentra) es el artículo 301.1 en relación con el 4 de la Ley de Enjuiciamiento Civil, que no puede quebrantarse en ninguna de las jurisdicciones.