Bueno, tienes que pedir la autorización de compatibilidad a la administración a la que perteneces, que intuyo será la Comunidad Autónoma, competente en materia educativa. En ningún caso puedes iniciar la segunda actividad sin la autorización previa, de acuerdo con la Ley 53/1984, de incompatibilidades. Ahora bien, tratándose de una segunda actividad pública, como señalas, puedes ir olvidándote de que te la concedan, porque los supuestos se encuentran tasados en la Ley, y el artículo 16.3 reconoce la posibilidad de desempeñar dos actividades públicas en los supuestos de profesor universitario asociado y poco más.
Mi situación es la siguiente: Yo soy funcionario, me dedico a la enseñanza, tengo una oferta de trabajo para horarios no lectivos, es decir, por las tardes por parte del ayuntamiento de mi pueblo, con contrato laboral, mi duda es si puedo realizar las dos actividades legalmente, ya que como el ayuntamiento es una entidad publica pienso que no, y si pudiera kisiera saber si perdería alguna exclusividad en mi nomina de funcionario, ya que la oferta de trabajo es en un conservatorio de mi pueblo. gracias.