Entiendo que sí.
El art.99 de la CE dice: "Después de cada renovación del Congreso de los Diputados, y en los demás supuestos constitucionales en que así proceda, el Rey, previa consulta con los representantes designados por los grupos políticos con representación parlamentaria, y a través del Presidente del Congreso, PROPONDRÁ un candidato a la Presidencia del Gobierno."
No habla de que esté en sus funciones (66) ni de que "podrá" proponer, sino "propondrá". Eso yo lo entiendo como no opcional.
Aunque como la personalidad del rey es "inviolable" tampoco le pasaría nada de no hacerlo, vamos.
Coincido con Paquito, la Constitución no deja lugar a dudas con su imperativo. Con lo que puede jugar el Rey es con los tiempos, es decir, no tiene plazo fijado para presentarlo, y además como dice Paquito, si no lo hiciese, nada le pasaría.