El custodio es el que vive con el menor en periodo ordinario. Lógicamente tiene más obligaciones (le tendrá que levantar para ir al cole, comprarle ropa y lavarla, cocinar y darle de comer, etc.) el que vive con el menor, y no el que no vive con él, de forma ordinaria.
Según de qué hablemos, claro, si hablamos de temas de patria potestad, no de custodia, las obligaciones son las mismas.
Y no, normalmente con la autorización de uno basta para casi todos los temas escolares "ordinarios" como una excursión. Para matricularlo en un centro o en otro, salir al extranjero, y otras cosas se necesita el acuerdo de ambos. Si hay un coste económico puede bastar solo con la autorización de uno de los dos, pero no deberá asumirse el coste por el otro salvo que se considere de carácter necesario o urgente.