La elección del centro de estudios es un tema de patria potestad. La decisión debe ser conjunta de los dos progenitores cuando tengan la patria potestad compartida, que es lo normal. Si hay desacuerdo pueden recurrir al juez con un Procedimiento de Jurisdicción Voluntaria. Cada uno de los progenitores deberá presentar un escrito con los acreditando o al menos explicando, por los que su elección es más beneficiosa para el menor. Si el menor tiene más de 12 años también puede ser escuchada su opinión por el juez. Viendo todos los motivos el juez tomará la decisión.
Después de toda esta charla, en respuesta a su pregunta, sí. El juez puede decidir que vaya a uno u otro colegio, sea privado, concertado o público, si al analizar las opciones considera que es más beneficioso para el menor.
Efectivamente, el Juez podrá darle la razón. Habría que argumentar, como ha indicado previamente un compañero, por qué es más beneficioso para el menor un colegio que otro para que decida, en caso de desacuerdo entre ambos progenitores.