No se trata de que la LEC lo permita o no en este caso concreto. Si la otra parte acepta el aplazamiento, dado que la acción es disponible, es posible que se termine ahí el procedimiento.
Si el demandante no acepta, entiendo que debe solicitar la ejecución sobre el patrimonio del deudor.
A mi se me dió un caso en que la parte demandante aceptó el pago aplazado, se desarrolló el pago según lo previsto en los plazos y no supe nada más del tema, así que la acreedora se dió por satisfecha.