Son preguntas muy genéricas.
Los dos progenitores tienen la misma obligación de mantener al menor. Si uno tiene la custodia éste se encargará de los cuidados y el otro deberá abonar una pensión por alimentos, que se calcula en función de ingresos y gastos necesarios para mantener al menor. A ingresos similares correspondería en teoría una carga similar entre ambos, aunque lo que se hace es aplicar unas tablas para calcular la cuantía. No se paga "a mitad" cada gasto, sino que el custodio tendrá libertad para gastar como quiera en cuanto a gastos ordinarios, y él otro estará obligado al pago de la pensión para cubrir parte de estos. Si el custodio gasta de más, le tocará pagarlo a él, si gasta de menos, pues se lo ahorrará. Se hace una estimación y no hay que rendir cuentas, los gastos ordinarios se pagan mediante una renta fija que se pasará al custodio. Los gastos extraordinarios en cambio sí que se abonan a partes iguales (o en el porcentaje que se establezca por sentencia, casi siempre es la mitad).
Sobre la paternidad, pues si no crees que sea tuyo, se puede solicitar una prueba que lo determine. Si estás casado existe presunción de paternidad, luego de no hacer nada se asumirá que el marido de la mujer embarazada será el padre, y es éste el que debe solicitarlo. Si no estás casado no existe esa presunción y es la madre la que deberá solicitar el reconocimiento de la paternidad de quien asegure que es el padre. No puedes negarte a realizar la prueba de paternidad si lo solicita un juez, en ese caso se dará por reconocida.
Si se establece la paternidad de la forma en que sea, no hay forma de no hacerse cargo (legalmente, vamos, si te vas a Laos y desapareces del mapa a ver quien te lo va a impedir).